Предельные теоремы для случайной выпуклой цепи и случайных выпуклых многогранников

Рассмотрим двумерный треугольник $T$ с вершинами в точках $(0,0)$, $(0,1)$ и $(0,1)$ и $n$ независимых и равномерно распределенных в $T$ случайных точек $X_1,\ldots,X_n$. Oбозначим через $T_n$ выпуклую оболочку точек $(0,1)$, $(1,0)$ и $X_1,\ldots,X_n$. В частности граница случайного многогранника $T_n$ за исключением отрезка, соединяющего точки $(0,1)$ и $(0,1)$, формирует случайную цепь.
В данном докладе мы рассмотрим случайную величину $N_n$, которая равняется количеству вершин многогранника $T_n$ отличных от $(0,1)$ и $(0,1)$. Одним из ключевых результатов является замечательный факт, что последовательность производящих функций вероятностей $(G_n(z))_{n\in\mathbb{N}}$ случайных величин $N_n, n\in\mathbb{N},$ удовлетворяет рекуррентному соотношению и образует систему ортогональных многочленов. Данное свойство приводит к целому ряду вероятностных результатов для случайной величины $N_n$, и в частности позволяет записать $N_n$ в виде суммы независимых бернуллиевских случайных величин и получить точные предельные теоремы для $(N_n)_{n\in\mathbb{N}}$.
Доклад основан на совместной работе с Кристофом Тэле (arXiv:2011.04563).