Анзац Гиббонса-Хокинга в обобщенной Кэлеровой геометрии

Пусть $M$ — гладкое многообразие. Обобщенная геометрия, введенная Хитчиным (2003), изучает структуры ассоциированные с сечениями расслоения $TM\oplus T^*M$, снабженными скобкой Куранта (естественным обобщением скобки Ли). Оказывается, что в рамках обобщенной геометрии можно ввести аналоги множества знакомых структур — риманову метрику, почти комплексную структуру, Кэлерову метрику. В настоящем докладе мы будем обсуждать обобщенные Кэлеровы структуры на 4-мерных многообразиях. Всякая обобщенная Кэлерова структура допускает естественные деформации и важной задачей является поиск "лучших/выделенных" структур на данном многообразии. В "классических" терминах обобщенная Кэлерова структура представляет собой би-Эрмитово многообразие $(M,g,I,J)$ с интегрируемыми комплексным структурами $I$ и $J$ (удовлетворяющими некоторому условию совместимости). В частности, всякое гиперкэлерово многообразие $(M,g,I,J,K)$ это пример обобщенной Кэлеровой структуры. Знаменитый анзац Гиббонса-Хокинга (1978) дает исчерпывающую локальную конструкцию 4-мерных гиперкэлеровых многообразий с $U(1)$-симметрией. В докладе мы напомним важные ингредиенты анзаца Гиббонса-Хокинга и предъявим его модификацию, дающую полную локальную классификацию обобщенных Кэлеровых 4-многообразий. В качестве приложения, мы классифицируем обобщенные Кэлеровы структуры удовлетворяющие солитонным уравнениям.
Доклад основан на совместной работе с Джеффри Стритсом (arXiv:2009.00778)