Динамика на сложных энергетических ландшафтах, формула Аррениуса и теория Морса–Виттена

Энергетическим ландшафтом называют поверхность энергии некоторой системы. В случае большого числа локальных минимумов и седловых точек ландшафт называется сложным. Изучению таких «сложных систем» посвящены многочисленные работы по молекулярной динамике, химической кинетике, теории спиновых стекол. Одним из основных результатов кинетической теории является формула Аррениуса, которая описывает классические надбарьерные переходы между потенциальными ямами.
В докладе обсуждается динамика на энергетическом ландшафте, описываемая уравнением диффузии в потенциальном поле. Такое уравнение эквивалентно эволюционному уравнению, порождаемому некоторым оператором Шрёдингера. Мы доказываем, что формула Аррениуса для скорости релаксации к равновесному состоянию при определенных предположениях может быть получена при помощи квазиклассического приближения для оператора Шрёдингера, соответствующего квантовым туннельным переходам.
Рассмотрена связь этого результата с подходом Э. Виттена (E. Witten, 1982) к теории Морса на основе суперсимметричной квантовой механики. Формула Аррениуса может рассматриваться как поправка к неравенствам Морса, то есть неравенства Морса отвечают первому члену квазиклассического разложения, а формула Аррениуса – второму.
В случае сложного ландшафта соответствующий набор кинетических уравнений эквивалентен псевдодифференциальному уравнению ультраметрической диффузии.
Доклад основан на результатах работы: S. V. Kozyrev, I. V. Volovich. The Arrhenius formula in kinetic theory and Witten's spectral asymptotics, arXiv:1008.4487.