Канторовы множества с многомерными проекциями

В 1994 г. Дж.Кобб построил канторово множество в $\mathbb{R}^3$, проекция которого на любую 2-плоскость одномерна, и поставил общий вопрос: существует ли, для заданных чисел $N>m>k>0$, такое канторово множество в $\mathbb{R}^N$, проекция которого на любую $m$-плоскость имеет размерность $k$? Для случаев $(N,m,k)=(2,1,1)$ и $(N,N-1,N-1)$ такие множества известны из работ Антуана (1924) и Борсука (1947); для случаев $k=m-1$ и $m=N-1$ — построены Фролкиной (2010) и Barov-Dijkstra-van der Meer (2012), соответственно. В двух последних работах развивается конструкция Кобба; как и у Кобба, построение довольно техничное.
В докладе будет показано, что всякое канторово множество в $\mathbb{R}^N$ посредством произвольно малых изотопий пространства $\mathbb{R}^N$ может быть сдвинуто как на $(N,N-1,N-1)$-множество, так и на $(N,N-1,N-2)$-множество. Также будет представлена легко конструируемая серия канторовых множеств в $\mathbb{R}^3$, у которых все проекции связны и одномерны - самоподобные ожерелья Л.Антуана (благодаря самоподобию применять изотопию не потребуется, и примеры получатся особенно простыми).
Канторовы множества с многомерными проекциями являются "исключительными" в следующем смысле. Пусть $C(\mathbb{R}^N)$ — пространство всех канторовых множеств в $\mathbb{R}^N$, снабженное метрикой Хаусдорфа. Для его типичного (в смысле категории Бэра) элемента $Х$ имеем: проекция $Х$ на любое ненулевое линейное подпространство $L$ пространства $\mathbb{R}^N$ является канторовым множеством. Это дает частичный ответ на другой вопрос Кобба.