Конструкция А. Шинцеля– много чисел без малых простых делителей на коротких интервалах.

Пусть $\pi(x)$– количество простых чисел, не превосходящих $x$. Харди и Литтлвуд (1923) предположили, что для любых целых чисел $x,y\ge2$ выполнено неравенство
$$\begin{equation} \label{HL} \pi(x+y) \le \pi(x) + \pi(y). \end{equation}$$

Гипотеза Харди и Литтлвуда связана с частным случаем $k$-tuple conjecture (гипотезы о кортежах с $k$ элементами)–гипотезы о существовании наборов простых чисел с заданными попарными разностями. Система различных целых чисел $b_1,\dots,b_k$ называется допустимой, если для любого простого числа $p$ найдется класс вычетов по модулю $p$, не сравнимый ни с одним из чисел этой системы. Гипотеза о существовании наборов простых чисел с заданными попарными разностями заключается в том, что для любого допустимого набора $b_1,\dots,b_k$ существует бесконечно чисел $n$ таких, что все числа $n+b_1,\dots,n+b_k$ являются простыми.
В 1974 году Хенсли и Ричардс доказали, что гипотеза Харди и Литтлвуда несовместна с гипотезой о существовании наборов простых чисел с заданными попарными разностями. Точнее, если последняя справедлива, то имеет место неравенство
$$\begin{equation} \label{HR} \max_{y\ge x}(\pi(x+y) - \pi(x) - \pi(y)) \ge (\log2+o(1)) x/(\log^2x)\quad(x\to\infty). \end{equation}$$
Более того, Шинцель предложил конструкцию, направленную на усиление неравенства ($\ref{HR}$). К сожалению, строго доказать, что построенный Шинцелем набор является допустимым, не удается, хотя это представляется очень вероятным.
В докладе на основании модификации конструкции Шинцеля будет представлена оценка
$$\begin{equation} \label{Sch} \max_{y\ge x}(\pi(x+y) - \pi(x) - \pi(y)) \ge (1/2+o(1)) x\log\log\log x/(\log^2x)\quad(x\to\infty). \end{equation}$$

Идентификатор конференции: 942 0186 5629 Код доступа-шестизначное число, первые три цифры которого образуют число $p+44,$ а последние три цифры-число $q+63,$ где $p,q$-наибольшая пара близнецов, меньших 1000.