Гипотеза Вороного для пятимерных параллелоэдров

Выпуклый $d$-мерный многогранник $P$ называется параллелоэдром, если существует разбиение $d$-мерного евклидова пространства на параллельные копии $P$. В случае если разбиение на параллоэдры является нормальным, то есть пересечение любых двух копий $P$ является гранью каждой из копий, то все трансляции $P$ задаются некоторой решеткой и $P$ является ее фундаментальной областью. В общем случае, разбиениям пространства на копии одного многогранника и связям таких разбиений с фундаментальными областями кристаллографических групп посвящена 18-я проблема Гильберта (полностью решена).
Гипотеза Вороного (1909) утверждает, что любой $d$-мерный параллелоэдр может быть получен как многогранник Дирихле-Вороного некоторой $d$-мерной решетки. Связь параллелоэдров с решетками была исследована Вороным в его работе, положившей начало теории положительных квадратичных форм, и в дальнейшем использовалась во многих областях, включая приложения к решеточным покрытиям и алгоритмам оптимизации на решетках. Несмотря на это, до недавнего времени гипотеза Вороного была доказана только при $d\leq 4$, а также для некоторых семейств параллелоэдров, удовлетворяющих локальным или глобальным комбинаторным свойствам.
В докладе будет рассказано о доказательстве гипотезы Вороного для пятимерных параллелоэдров. Результат получен докладчиком совместно с Александром Магазиновым.