Когомологическая жёсткость для трёхмерных идеальных прямоугольных многогранников

В торической топологии (см. [BP15]) каждому $n$-мерному комбинаторному простому выпуклому многограннику $P$ с $m$ гипергранями сопоставляется $(m + n)$-мерное момент-угол многообразие $Z_P$ с действием компактного тора $T^m$, таким что пространство орбит $Z_P/T^m$ является геометрической реализацией многогранника $P$. Простой $n$-мерный многогранник $P$ называется B-жёстким, если любой изоморфизм градуированных колец $H^*(Z_P, Z) = H^*(Z_Q, Z)$ для простого $n$-мерного многогранника $Q$ влечёт комбинаторную эквивалентность $P = Q$. $Z_2$-характеристическая функция – это отображение множества гиперграней многогранника в $Z^n_2$ (где $Z_2 = Z/2Z$), такое что для каждой вершины образы содержащих её гиперграней образуют базис. Каждой $Z_2$- характеристической функции соответствует $n$-мерное многообразие, получаемое склейкой 2n копий многогранника. Оно называется малым накрытием над многогранником. Малое накрытие над компактным прямоугольным многогранником в пространстве Лобачевского $L^3$ имеет структуру гиперболического многообразия (такие многообразия были также построены в [V87]). В работе [BEMPP17] доказано, что если два таких трёхмерных гиперболических многообразия имеют одинаковые градуированные кольца когомологий над $Z_2$, то они гомеоморфны. Характеристические функции возникают, в том числе, из раскрасок гиперграней в $n$ или $(n + 1)$ цветов, таких что смежные грани имеют разный цвет.
В центре нашего внимания находятся трёхмерные идеальные прямоугольные многогранники в $L^3$. Все вершины таких многогранников лежат на абсолюте, а все двугранные углы прямые. Известно, что рёберные графы трёхмерных идеальных прямоугольных многогранников – это в точности медиальные графы выпуклых трёхмерных многогранников. Вершины медиального графа – это середины рёбер многогранника. Две такие вершины соединены ребром, если соответствующие им рёбра являются соседними в некоторой грани. Это соответствие играет ключевую роль в теореме Кёбе-Андреева-Тёрстрона о том, что каждый комбинаторный трёхмерный многогранник может быть реализован в евклидовом пространстве так, что все его рёбра касаются сферы.
Теорема. [E20] Простой трёхмерный многогранник, получаемый одновременной срезкой всех вершин трёхмерного идеального прямоугольного многогранника, является B-жёстким.
Такой простой многогранник P имеет каноническую раскраску в три цвета. Один цвет отвечает срезаемым вершинам идеального многогранника, а два других – вершинам и граням выпуклого многогранника при реализации идеального многогранника через его медиальный граф. Раскраске соответствует трёхмерное многообразие M(P).
Следствие. Если многообразия $M(P)$ и $M(Q)$ имеют одинаковые градуированные кольца когомологий над $Z_2$, то они гомеоморфны.
Многообразие $M(P)$ является дублем трёхмерного многообразия $N$ с краем $\partial N$, то есть склеено из двух его копий по общей границе. В дополнении до края каждая копия имеет гиперболическую структуру, а каждая компонента края является плоским двумерным тором. Многообразие $N- \partial N$ гомеоморфно некомпактному гиперболическому многообразию конечного объёма, отвечающему раскраске граней идеального многогранника в два цвета (конструкция описана в [V17]).
[BP15] Victor Buchstaber and Taras Panov. Toric Topology. Math. Surv. and Monogr., 204, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2015.
[BEMPP17] В.М. Бухштабер, Н.Ю. Ероховец, М. Масуда, Т.Е. Панов, С. Пак, Когомо- логическая жесткость многообразий, задаваемых трехмерными многогранника- ми, УМН. 2017. Т. 72, No 2 (434). С. 3–66.
[V87] А.Ю. Веснин,Трехмерные гиперболические многообразия типа Лёбелля, Сиб. мат. журн. 1987. V. 28, N 5. P. 50–53.
[V17] А.Ю. Веснин, Прямоугольные многогранники и трехмерные гиперболические многообразия, УМН. 2017. Т.72, No 2(434). С. 147–190.
[E20] N. Erokhovets, B-rigidity of ideal almost Pogorelov polytopes, arXiv:2005.07665v3.