Последние продвижения в слабой гипотезе Эрдеша-Семереди

Гипотеза Эрдеша-Семереди о суммах произведений утверждает, что для любого конечного множества A, состоящего из целых чисел, либо $|A+A| \gg |A|^{2-o(1)}$, либо $|AA| \gg |A|^{2-o(1)}$. Эта сильная гипотеза далека от своего доказательства и, более того, она является открытой даже в своем частном (=слабом) случае когда, дополнительно, предполагается, что $|AA| \le K|A|$. Мы дадим обзор недавних результатов по слабой гипотезе Эрдеша-Семереди и, в частности, расскажем о замечательном продвижении Д. Железова и его соавторов в котором при широком ограничении $K=O(|A|^eps)$ доказывается почти линейный рост старших сумм $|kA| \gg |A|^{k-o(k)}$.