О полноте трансфинитных итераций схем рефлексии

Для достаточно сильных арифметических теорий $T$ можно определить схему равномерной рефлексии $\mathrm{RFN} (T)$, выражающую тот факт, что всякое предложение доказуемое в $T$ истинно. В силу второй теоремы Гёделя о неполноте, теории $T + \mathrm{RFN} (T)$ сильнее, чем $T$ для непротиворечивых теорий $T$. Прогрессия Тьюринга–Фефермана $T_{\alpha}$ — это трансфинитная прогрессия усиливающихся теорий, начинающаяся с $T_0=T$, где каждая следующая теория получается путём добавления схемы равномерной рефлексии к предшествующей. Как было установлено С. Феферманом, всякое истинное арифметическое предложение является теоремой $\mathrm{PA}_{\alpha}$ для подходящего $\alpha$.
В первой половине настоящего доклада я познакомлю слушателей с прогрессиями Тьюринга–Фефермана и расскажу о некоторых их приложениях. Во второй половине доклада я познакомлю слушателей с новым простым доказательством упомянутой выше теоремы Фефермана и некоторыми новыми результатами вокруг неё.


Доклад основан на совместной работе с Д. Россеггерром и М. Ратьеном.