Пространства модулей поляризованных симплектических многообразий

Первый пример многообразий такого типа – это поляризованная К3 поверхность. В 1956 году А. Вейль сформулировал программу, посвящённую изучению К3 поверхностей и их модулей. В течениe 25 лет все вопросы из этой программы были решены за исключением проблемы описания бирационального типа пространств модулей $F(2d)$ алгебраических К3 поверхностей степени $2d$ ($F(2d)$ является квази-проективным многообразием размерности 19). Для $d=1,2,\dots,10,12,17,19$ многообразие $F(2d)$ унирационально (Mukai). В этом докладе будут изложены результаты, полученные мною совместно с К. Хулеком (K. Hulek, Hannover) и Г. Санкараном (G. Sankaran, Bath). Используя теорию автоморфных форм, мы доказываем, что $F(2d)$ имеет общий тип, то есть её размерность Кодайры максимальна, начиная с $d=46$, и что $F(2d)$ не является унирациональным начиная с $d=40$. Наш метод позволяет получить аналогичные результаты для пространств модулей (размерности 20 и 21) поляризованных неприводимых симплектических многообразий.