Спектральная теория одномерного лэмплайтера

Сплетения конечных групп с бесконечными, в первую очередь групп $\mathcal L_d=\mathbb{Z}_2 \wr \mathbb {Z}^d, d \geq 1 $, порядка 2 и свободных абелевых групп $\mathbb Z^d$ (называемых также решетками), давно уже играют важную роль в различных областях математики. Одной из пионерских работ в этом направлении была статья А.М.Вершика и В.А.Каймановича, показавшая важность таких групп для теории случайных блужданий, в частности для исследования свойств границы Пуассона-Фюрстенберга. При этом была открыта принципиальная разница между случаями размерности $d=1,2$ решетки или $d \geq3$. Также авторами было придумано общее название этим группам – лэмплайтер, – которое приобрело всеобщую известность и популярность.
Около двух десятилетий назад выяснилось, что даже одномерный лэмплайтер $\mathcal L_1$ обладает интригующими спектральными свойствами, причем имеется в виду спектральная теория дискретного оператора Лапласа (или, что эквивалентно, оператора Маркова, связанного с простым случайным блужданием) на графе Кэли. В 2001 году в работе докладчика и А.Жука было открыто, что $\mathcal L_1$ является самоподобной группой и обладает системой образующих, для которой спектр является чисто точечным, т.е. имеет полную систему собственных функций.
Это был первый пример такого рода, который, между прочим, привел к положительному ответу на один из принципиальных вопросов М.Атьи: "Существуют ли замкнутые римановы многообразия с нецелым $L^2$-числом Бетти?" Последовали другие работы в этом направлении. Недавно было обнаружено несколько новых неожиданных фактов о спектральных свойствах $\mathcal L_1$. Оказалось, что в случае стандартной системы образующих спектр может быть непрерывным и сингулярным (обнаружено в работах Л.Грабовского и Б.Вирага), но, с другой стороны, опять-таки, может быть чисто точечным, но как множество иметь бесконечное число дыр, в отличие от случая, исследованного в 2001 году, когда спектр как множество являлся интервалом $[0,1]$ (недавняя работа Б.Симанека и докладчика). Последний результат дает первый пример графа Кэли с бесконечным числом дыр в спектре.
При получении этих результатов была использована совершенно новая техника, разработанная докладчиком и его соавторами. Она основана на групповых действиях на корневых деревьях, существенной свободе действий, самоподобии, ренормализации, теории ортогональных многочленов, а в некоторых случаях и редукции к теории случайного оператора Слезингера.
Вот обо всем этом докладчик и собирается рассказать, если аудитория ему позволит.