Симметрический полиграничный гомоморфизм

Я расскажу о такой комбинаторной по существу задаче. Рассмотрим всевозможные неупорядоченные наборы $r$ непересекающихся $n$-мерных сингулярных симплексов в пространстве $\mathbb R^\infty$. Их линейные комбинации с коэффициентами в поле («симметрические полицепи») образуют векторное пространство $V^r_n$. Рассмотрим «симметрический полиграничный гомоморфизм»
$$ V^r_{n+1} \longrightarrow V^r_n, $$
$r$-ю симметрическую степень граничного гомоморфизма. Какими уравнениями задаётся его образ? Оказывается, равенством нулю некоторых элементов групп гомологий симметрических групп. кто бы мог подумать :)