О квантовых графах

В докладе будут рассмотрены квантовые графы с бесконечным числом вершин. Новизна заключается в том, что мы не накладываем обычного ограничения на геометрию основного метрического графа, то есть, что существует положительная нижняя грань для длин его ребер. Основной результат – тесная связь между спектральными свойствами квантового графа и соответствующими свойствами некоторого дискретного оператора Лапласа с весом на дискретном графе. Используя эту связь, а также спектральную теорию (неограниченных) дискретных операторов Лапласа на бесконечных графах, мы доказываем ряд новых результатов о спектральных свойствах квантовых графов. А именно, доказываются несколько результатов о самосопряженности, включая теорему типа Гаффни. Исследуется задача о полуограниченности снизу, доказываются некоторые спектральные оценки (нижние границы спектров и существенных спектров квантовых графов, оценки типа CLR) и рассматриваются типы спектров. Доклад основан на следующих работах: 1. Kostenko, A., Malamud, M.: 1-D Schrodinger operators with local point interactions on a discrete set. JDE, v. 249, 253–304 (2010). 2. P. Exner, A. Kostenko, M.M. Malamud, and H. Neidhardt, {Spectral Theory of Infinite Quantum Graphs}, Annales Henri Poincare, V. 19, No 11, (2018), p. 3457 – 3510.