$t$-мотивы Андерсона и их группы (ко)гомологий $H^1$ и $H_1$

Модули Дринфельда - аналоги эллиптических кривых в конечной характеристике, а $t$-мотивы Андерсона - их многомерное обобщение, то есть аналоги абелевых многообразий в конечной характеристике. Хотя формально они являются некими (нетипичными) модулями над кольцом некоммутативных многочленов от двух переменных, мы их рассматриваем как объекты алгебраической геометрии. Для них определены модули Тэйта, группы (ко)гомологий $H^1$ и $H_1$ - так что они в некотором смысле факторы аналога пространства $\mathbb{C}^n$ в конечной характеристике по решётке. Далее, для них определены многообразия модулей (аналоги фактора верхней комплексной полуплоскости по $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$,) и многое другое. Однако, эта аналогия далеко не полна. Например, мы еще не знаем, как определить для модуля Дринфельда аналог группы рациональных точек $E(\mathbb{Q})$ эллиптической кривой $E$.
В лекции будет рассказано, как вычислять $h^1$ и $h_1$ - размерности $H^1$ и $H_1$ для $t$-мотива Андерсона, явно заданного уравнением. В отличие от случая абелевых многообразий размерности $g$, где всегда $h^1 = h_1 = 2g$, для $t$-мотивов Андерсона мы имеем лишь неравенства $h^1 \le 2g$, $h_1 \le 2g$. Существует спаривание между $H^1$ и $H_1$; есть теорема (Андерсон): $h^1 = 2g \Longleftrightarrow h_1 = 2g \Longrightarrow $ спаривание невырожденно. Далее, известно, что не всегда $h^1 = h_1$.
Множество $t$-мотивов Андерсона размерности $n$ зависит от (грубо говоря) $n^2$ параметров ( а почему не от $n(n+1)/2$, как для абелевых многообразий? Будет объяснено). Есть задача: найти $h^1$ и $h_1$ для начала для всех $t$-мотивов Андерсона размерности $2$. Для фиксированного $t$-мотива Андерсона это можно сделать за 10 минут ручного счета (если не будет никаких сложностей в вычислении - а они иногда встречаются). На сегодня, однако, $h^1$ и $h_1$ сосчитаны лишь для $t$-мотивов Андерсона размерности $2$, у которых два из четырех определяющих параметров равны $0$. Продолжить эти вычисления - хорошая задача для тех, кто хочет войти в эту теорию. Кстати, до сих пор нет ни одного примера $t$-мотивов Андерсона размерности $2$ с $h^1, h_1 = 2, 3$, а только есть $0, 1, 4$. Существуют ли они вообще? Что можно сказать о спаривании между $H^1$ и $H_1$, если $h^1, h_1 = 2$ или $3$? Неизвестно.