Верхняя и нижняя плотность систем Габора

Хорошо известно, что система частотно-временных сдвигов гауссиана (система Габора) образует фрейм в $L^2(R)$ тогда и только тогда, когда равномерная плотность больше 1. Для полных и минимальных систем ситуация другая. В 2009м году Аскензи, Любарский и Сейп показали, что, при условии регулярности на распределение сдвигов, верхняя плотность полной и минимальной системы может равняться $2/\pi$. Более того им удалось показать, что в этом случае верхняя плотность всегда лежит в интервале $[2/\pi,1]$. При этом оставалось непонятным существенно ли условие регулярности.
Нам удалось показать, что вообще говоря это условие существенно и верхняя плотность может лежать как минимум в промежутке $[1/\pi, е]$, при этом верхняя оценка точна. Также мы получим интересно нелинейное и точное неравенство между верхней и нижней плотностью для полных и минимальных систем Габора.
Доклад основан на совместной работе с А. Боричевым (Марсель) и А. Кузнецовым (СПбГУ).