О вычислении расширенных полугрупп старших весов для сферических однородных пространств

Замкнутая подгруппа $H$ связной редуктивной алгебраической группы $G$ называется сферической, если однородное пространство $G/H$ содержит открытую орбиту для индуцированного действия борелевской подгруппы $B \subset G$. Согласно известному результату Э. Б. Винберга и Б. Н. Кимельфельда, подгруппа $H$ сферична тогда и только тогда, когда для всякого неприводимого конечномерного представления $V$ группы $G$ и всякого характера $\chi$ подгруппы $H$ подпространство всех $H$-полуинвариантных векторов веса $\chi$ в $V$ не более чем одномерно. Все пары $(V,\chi)$, для которых указанное подпространство нетривиально (и, значит, в точности одномерно), описываются так называемой расширенной полугруппой старших весов однородного пространства $G/H$.
Доклад посвящён задаче вычисления расширенной полугруппы старших весов для заданной сферической подгруппы $H \subset G$ в терминах её регулярного вложения в некоторую параболическую подгруппу группы $G$. Основным результатом служит явный способ вычисления порождающих элементов рассматриваемой полугруппы при условии, что известен ещё один инвариант сферической подгруппы $H$ — набор простых сферических корней. Планируется также обсудить известные результаты и открытые вопросы, связанные с задачей вычисления простых сферических корней.