О кэлеровой геометрии пространств петель

Доклад посвящен кэлеровой геометрии пространств петель и их квантованию. Пространство гладких петель группы Ли $G$ есть
$$ \Omega G=LG/G=C^\infty(S^1,G)/G, $$
где $LG=C^\infty(S^1,G)$ есть группа петель, а $G$ в знаменателе отождествляется с группой постоянных отображений $S^1\to g_0\in G$. Пространство $\Omega G$ обладает по существу единственной симплектической структурой, инвариантной относительно действия группы петель $LG$. В то же время на нем имеется множество инвариантных комплексных структур, совместимых с симплектической, параметризуемое точками многообразия $\mathcal S=\text{Diff}_+(S^1)/\text{Mob}(S^1)$. На $\mathcal S$ есть естественная комплексная структура, инвариантная относительно действия группы $\text{Diff}_+(S^1)$, что позволяет проквантовать пространство $\Omega G$.
Оказывается, что симплектическая форма пространства $\Omega G$ допускает продолжение на более широкое пространство, а именно, соболевское пространство полудифференцируемых петель. Комплексные структуры на последнем параметризуются точками универсального пространства Тейхмюллера $\mathcal T$, которое также обладает естественной комплексной структурой. Соболевское пространство полудифференцируемых петель удается проквантовать с помощью методов некоммутативной геометрии.