Интегрируемые биллиарды на клеточных комплексах и интегрируемые гамильтоновы системы

Интегрируемые системы с двумя степенями свободы на изоэнергетических трехмерных поверхностях классифицируются инвариантами, т.н. «мечеными молекулами». В последнее время был обнаружен важный класс биллиардных книжек — биллиардов на клеточных комплексах, склеенных из плоских биллиардов-листов. В частном случае, когда комплекс является ориентируемым многообразием, такой биллиард является так называемым топологическим биллиардом. Оказалось, что такие биллиарды (топологические и книжки) лиувиллево эквивалентны многим интересным интегрируемым системам в механике и симплектической геометрии (то есть такие эквивалентные системы имеют одинаковые замыкания почти всех интегральных траекторий). Опираясь на уже полученные результаты, А.Т.Фоменко сформулировал гипотезу из 6 пунктов, первый из которой уже доказан, а в остальных получены интересные продвижения. Приведем первые 3 пункта.

Гипотеза A (атомы). Любые бифуркации двумерных торов Лиувилля в изоэнергетическом 3-многообразии любой интегрируемой невырожденной системы с двумя степенями свободы моделируются при помощи интегрируемых бильярдов.
Гипотеза B (грубые молекулы). Любые грубые молекулы, задающие множество всех интегрируемых систем с точностью до грубой эквивалентности, моделируются интегрируемыми биллиардами.
Гипотеза C (меченые молекулы). Многие слоения Лиувилля невырожденных интегрируемых систем на изоэнергетических 3-поверхностях послойно диффеоморфны (т.е. лиувиллево эквивалентны) соответствующим слоениям некоторого топологического биллиарда.

Любой ответ на эти гипотезы интересен. Например, если выяснится, что не все «меченые молекулы» реализуются биллиардами, то полезно описать класс реализуемых систем. При этом обнаружатся топологические препятствия, различающие реализуемые и нереализуемые слоения Лиувилля. Станет ясно, какие невырожденные интегрируемые системы лиувиллево эквивалентны интегрируемым биллиардам, а какие — нет.