Алгебраически интегрируемые тела

Компактное подмножество в $\mathbb{R}^N$ называется алгебраически интегрируемым, если объем, отсекаемый от него произвольной гиперплоскостью, алгебраически зависит от коэффициентов уравнения этой гиперплоскости. Согласно Архимеду, шар в $\mathbb{R}^3$ алгебраически интегрируем; легко проверить, что это же верно для всех эллипсоидов в нечетномерных пространствах. Ньютон доказал, что на плоскости не бывает выпуклых алгебраически интегрируемых областей с гладкой границей. Арнольд спросил в 1987 г., бывают ли алгебраически интегрируемые тела с гладкой границей, кроме наборов эллипсоидов в нечетномерных пространствах. В четномерном случае ответ отрицателен: препятствие к интегрируемости строится в терминах группы монодромии гомологий гиперплоских сечений комплексификации границы тела. Оказывается, при нечетных $N>3$ такие тела существуют: например, трубчатые окрестности стандартных четномерных сфер. Доказательство (как и обнаружение этих примеров) также основано на изучении групп монодромии (которые в этих примерах оказывается достаточно бедными).