Распределение простых чисел и спектр оператора Лапласа

Сельберг доказал, что оператор Лапласа на фундаментальной области модулярной группы $\mathbb{SL}(2,\mathbb{Z})$ имеет бесконечный дискретный спектр $\{\lambda_n\}$. В докладе будет представлен следующий недавно полученный результат: имеет место следующая формула
$$\psi(x)=x+\Delta\psi(x),$$

$$ \Delta\psi(x)=\sum_{2\le m\le x}m\sum_{n=1}^{\infty}\cos(2r_n\log m)f(x,r_n)+O(1), $$
где $\lambda_n=1/4+r_n^2,$ а класс функций $f(x,r_n)$ будет указан в докладе.