Является ли поле функций на алгебре Ли чисто трансцендентным над инвариантным подполем?

Пусть $G$ – связная редуктивная алгебраическая группа над полем $k$ нулевой характеристики и пусть $\mathrm{Lie}G$ – её алгебра Ли. Пусть $k(G)$ и $k(\mathrm{Lie}G)$ – поля рациональных функций на $G$ и $\mathrm{Lie}G$ соответственно. Действие $G$ на себе сопряжениями и присоединённое действие $G$ на $\mathrm{Lie}G$ определяют подполя инвариантов $k(G)^G$ и $k(\mathrm{Lie}G)^G$ в $k(G)$ и $k(\mathrm{Lie}G)$ соответственно. В докладе будут обсуждаться следующие вопросы, на которые будут даны ответы: является ли расширение $k(G)/k(G)^G$ чистым (то есть чисто трансцендентным)? стабильно чистым? Те же вопросы для расширения $k(\mathrm{Lie}G)/\mathrm{Lie}(G)^G$. Эти вопросы возникают в связи с контрпримерами к гипотезе Гельфанда–Кириллова; они также естественно связаны с бирациональным аналогом классической проблемы о классификации представлений со свободным модулем ковариантов. Доклад основан на результатах, полученных совместно с Ж.-Л. Кольо-Теленом, Б. Кунявским и З. Рейхштейном.