Топология пространств неособых сечений однородных векторных расслоений и применения к группам автоморфизмов

Пусть $X$ – неособое комплексное алгебраическое многообразие, на котором действует комплексная редуктивная группа $G$, и пусть $E\to X$ – $G$-однородное векторное расслоение. Сечение $E$ неособо, если оно трансверсально нулевому сечению. Пусть $U$ – пространство неособых сечений. В докладе будет дано достаточное условие того, что любое отображение орбиты $G\to U$ индуцирует сюръекцию в рациональных когомологиях. Если это условие выполнено, то
1. существует геометрический фактор $U/G$;
2. есть изоморфизм алгебр $H^*(U)\cong H^*(U/G)\otimes H^*(G)$ рациональных когомологий;
3. группа $G$-автоморфизмов любого сечения из $U$ конечна, и ее порядок делит некоторое число, которое можно явно вычислить, например, если $X$ – компактное однородное пространство.
Если $E$ линейное, аналогичные результаты имеют место, если $U$ заменить на подмногообразие многообразия Чжоу, состоящее из множеств нулей неособых сечений. Мы также обсудим примеры, возможные обобщения и нерешенные вопросы. Доклад основан на совместных результатах с Н. Коноваловым.