Вырожденные диффузии на римановых и псевдоримановых многообразиях

Связь геометрии многообразий со свойствами диффузий и геометрических Броуновских движений, порожденных римановыми метриками и псевдо-метриками, является одним из центральных направлений исследований в геометрии, использующим различные комбинации методов геометрии, анализа, псевдо-дифференциальных уравнений и стохастического анализа. Одним из самых знаменитых результатов в этом направлении является теорема об индексе Атьи-Зингера. В отличие от наиболее стандартных невырожденных диффузий в последнее время интерес исследователей все более привлекают различные модели вырожденных (обычно гипоэллиптических) диффузий, являющихся геометрическими аналогами диффузии Колмогорова, отвечающей так называемому физическому Броуновском движению (а также аномальных супер и суб-диффузий). В докладе пойдет речь о свойствах таких диффузий и их связи с геометрическими инвариантами многообразий. Перспективы дальнейших исследований диффузий на многообразиях весьма обширны. Здесь стоит отметить прежде всего недавно возникшие кинетические и релятивистские Броуновские движения, а также диффузии на проективных пространствах и операторных алгебрах, описывающие наблюдаемые квантово-механические системы и связанные с ними важнейшие задачи управления такими системами с помощью современных квантовых оптических приборов.