Бифуркационный анализ динамики системы трех связанных тел в однородном поле сил тяжести

Рассматривается задача о движении системы трех связанных твердых тел в однородном поле сил тяжести. Каждое из тел может вращаться только вокруг одной из своих осей: первое — вокруг неподвижной вертикали $Oz$, второе — вокруг горизонтали $Ox$, жестко связанной с первым телом, а третье — вокруг оси $Oz$, жестко связанной со вторым телом и ортогональной оси $Ox$. Предполагается, что $Ox, Oy, Oz$ ($Oy$ ортогональна плоскости $Oxz$) — главные оси инерции второго тела для точки $O$, причем $Oz$ — ось динамической симметрии третьего тела, а центры масс второго и третьего тел лежат на этой оси.
Рассматриваемая задача допускает интеграл энергии H и два циклических интеграла $K = k, L = l$. Задача поиска стационарных движений системы, исследования их устойчивости и ветвления сводится к задаче анализа функции, заданной на отрезке и зависящей от постоянных $k$ и $l$ циклических интегралов и одного бифуркационного параметра $b$. В работе дан исчерпывающий анализ этой функции, который позволил построить полные атласы бифуркационных диаграмм Пуанкаре-Четаева и Смейла. Эти атласы позволяют при всех значениях постоянных $k$ и $l$ и допустимых значениях параметра $b$ указать количество стационарных движений, выделить устойчивые и неусточивые движения и определить топологические типы областей возможности движения. В частности, показано, что при любых значениях $k$ и $l$ и $b$ существуют вертикальные вращения системы при наивысшем или наинизшем расположении центра масс. В зависимости от параметров задачи первые либо всегда неустойчивы, либо устойчивы только при достаточно больших по модулю значениях постоянных $k$ и $l$, а вторые либо всегда устойчивы, либо устойчивы только при достаточно малых по модулю значениях этих постоянных. Кроме того, система допускает до четырех пар прецессионных движений. Таким образом, в пространстве параметров задачи существуют области, для которых система допускает одновременно десять стационарных движений (два вертикальных вращения — одно устойчивое и одно неустойчивое, и четыре пары прецессионных движений — две пары устойчивых и две пары неустойчивых).
Области возможности движения системы представляют собой либо трехмерных тор, либо пустое множество, либо от одного до трех "толстых" двумерных торов.