Интерпретация линейных порядков в арифметике Пресбургера и гипотеза Виссера

Арифметика Пресбургера (PrA), введённая М. Пресбургером в 1929 г. - элементарная теория натурального ряда с операцией сложения, без умножения. Настоящий доклад излагает результаты работы автора (совместной с Ф. Пахомовым) по исследованию интерпретаций в арифметике Пресбургера. А. Виссер высказал гипотезу о том, что любая интерпретация PrA в самой себе определимо изоморфна тождественной. Eстественным образом возникает задача об описании линейных порядков, интерпретируемых в PrA. Было установлено, что все порядки, определимые в PrA, являются разреженными. На основе модификации ранга Кантора-Бендиксона было показано, что все линейные порядки, интерпретируемые m-мерно в PrA, имеют модифицированный ранг m или ниже. На основании этой теоремы ранее было получено доказательство гипотезы Виссера в одномерном случае, а также доказано, что все интерпретации в многомерном случае изоморфны тождественной (но неясно, определимо ли).
Условие на ранг является необходимым, но не достаточным. Авторами предпринят поиск необходимого и достаточного условия на линейные порядки, определимые в любом числе измерений. Установлено, что определимость эквивалентна тому, что порядок является сужением лексикографического в $N^n$ для некоторого n на произвольное определимое множество. Будет показано, как это описание позволяет установить гипотезу Виссера и для многомерных интерпртаций.