О ветвящихся случайных блужданиях.

Теория ветвящихся случайных блужданий (ВСБ) является одним из важных разделов теории стохастических процессов. Для описания ВСБ необходимо определить правила, по которым происходит случайное блуждание, множество точек, в которых частицы могут производить потомков, и механизмы ветвления на этом множестве. В настоящее время имеется большое число публикаций, посвященных изучению ВСБ на $\mathbb Z^d$ с конечным числом источников ветвления. Будет приведен краткий обзор результатов, полученных в работах В. А. Ватутина, В. А. Топчего, Е. Б. Яровой и других авторов.
Одной из интересных задач, связанных с ВСБ, является изучение асимптотического поведения численности частиц при больших временах. Можно показать, что моменты локальной численности частиц являются решениями эволюционных уравнений в $\ell_2(\mathbb Z^d)$ с дискретным оператором Лапласа в правой части. Следовательно, вопрос об изучении асимптотического поведения моментов локальной численности частиц может быть сведен к изучению спектральных свойств данного оператора.
В конце доклада будут приведены результаты, полученные в совместной работе с К. С. Рядовкиным, для моментов локальной численности частиц ВСБ на периодическом графе с периодически расположенными источниками ветвления.