Метрики на дублях как инверсная полугруппа

Для метрического пространства $X$ мы изучаем всевозможные метрики на его дубле, т.е. на двух экземплярах как полугруппу с очевидной операцией композиции. При переходе к классам эквивалентности (квази-изометрической или грубой) метрик, эта полугруппа оказывается инверсной, что является основным результатом доклада. Поскольку инверсные полугруппы определяют $C^*$-алгебры, мы можем ассоциировать $C^*$-алгебры с классами эквивалентности метрических пространств. Эта алгебра, вообще говоря, некоммутативна и отличается от алгебры Роу. Если расстояние Громова-Хаусдорфа между $X$ и $Y$ конечно, то их $C^*$-алгебры совпадают. Мы характеризуем метрики, являющиеся проекторами и обратимыми элементами в инверсной полугруппе, описываем класс метрик, определенных подпространствами в $X$ и приводим ряд примеров.