Положительность длинных сумм характеров

Пусть $p$–простое число. Хорошо известно, что число квадратичных вычетов по модулю p на отрезке $[0,p/2]$ не меньше числа невычетов. Оказывается, то же верно и для отрезков $[0,p/3],$ $[0,p/4]$ и $[0,p/6].$ Мы обсудим обобщение этих результатов на случай $[0,\alpha p]$ с произвольным положительным вещественным $\alpha.$ В частности, мы покажем, что если $\alpha$ лежит в маленькой окрестности 1/3, то для большинства простых чисел отрезок $[0,\alpha p]$ содержит больше вычетов, чем невычетов. Доказательство будет опираться на теорему Зигеля-Вальфиша, а также некоторые результаты из теории вероятностей.