Об алгебраической независимости значений некоторых G-функций Зигеля.

В 1929г. К. Зигель определил класс так называемых G-функций и поставил вопрос об исследовании арифметических свойств значений этих функций в алгебраических точках. В частности в эту общую постановку, как частные случаи, включаются Теорема Ферма, вопрос об иррациональности значений дзета-функции Римана в нечётных точках, превышающих 1, и вопрос об алгебраической независимости значений в алгебраических точках гауссовых гипергеометрических функций с рациональными параметрами. Зигель также описал некоторый общий подход к исследованию свойств значений G-функций, но полученные им конкретные результаты были очень слабы. В 1980-е годы были точно сформулированы и доказаны (А.И. Галочкин, Г.В. Чудновский), некоторые предсказанные Зигелем свойства G-функций (так называемое сокращение факториалов), что позволило существенно обобщить результаты Зигеля. Впрочем, какие-либо продвижения в доказательствах упомянутых выше классических результатов на этом пути получены не были.
В докладе будет сделан обзор указанного выше направления исследований в теории трансцендентных чисел. Мы расскажем также о некоторых специальных случаях гипергеометрических функций Гаусса с рациональными параметрами, когда удаётся получить окончательные результаты, а именно, доказать алгебраическую независимость значений функций в любых ненулевых алгебраических точках единичного круга. Следует сказать, что эти результаты были получены ранее Чудновским, 1987г., и Андре, 1990г., применившими метод Гельфонда (1948, экспоненциальные функции) к эллиптическим и тета-функциям соответственно. Наше доказательство представляет интерес, т.к. оно следует первоначальному подходу Зигеля. Важную роль в нём играют классические параметризации некоторых гауссовых функций с помощью тета-констант.