Инерциальные многообразия параболических уравнений и спектральные свойства дифференциальных операторов

Теория инерциальных многообразий полулинейных параболических уравнений позволяет описывать финальную (при большом времени) фазовую динамику с помощью ОДУ в $\mathbb R^n$. Фактически, при этом удаётся выделить конечное число "<определяющих"> степеней свободы у бесконечномерной динамической системы.
Достаточные условия существования гладкого конечномерного инерциального многообразия (ИМ) в фазовом пространстве эволюционной задачи, обычно, формулируются в терминах спектральных свойств доминирующей линейной части уравнения. В этих же терминах рассматриваются условия (достаточные и необходимые) существования ИМ со свойством нормальной гиперболичности. В большинстве приложений речь идёт о свойствах спектра лапласиана в ограниченных областях $\Omega\subset\mathbb R^n$.
Формулируются нерешённые задачи и обсуждаются альтернативные подходы к проблеме конечномерной редукции параболической динамики.