Униформизация в задаче об асимптотике собственных функций вырождающегося оператора $\nabla D(x)\nabla$, связанных с биллиардами с “полужесткими стенками”

В работах авторов доклада совместно с А.Ю. Аникиным и А.В. Цветковой ранее были построены асимптотики собственных функций оператора $-\nabla D(x)\nabla$ в ограниченной области $X$ с границей $\partial X$ при больших собственных значениях $\lambda$. Предполагается, что $D(x)>0$ внутри $X$ и $D(x)=0$ на $\partial X$, причем $\nabla D(x){{|}_{\partial X}}\ne 0$. Стандартные краевые условия при этом не ставятся, их заменяет условие самосопряженности. В теории волн на воде ( $X\subset \mathbb{R}^2$ ) такие собственные функции, описывают, в частности, так называемые волны, захваченные берегами, а функция $D$ определяет дно бассейна. Решение этой задачи в квазиклассическом приближении связано с сингулярными и некомпактными по импульсам лагранжевыми многообразиями. Для построения соответствующих собственных функций был ранее развит метод, основанный на нестандартном фазовом пространстве, модифицированном каноническом операторе, квантовании Фока канонических преобразований, преобразовании Ганкеля и т. д. В докладе предлагается совсем иной подход к построению асимптотик в таких задачах, перекликающийся с восходящей к Ж. Лере идее униформизации и применении простейшего варианта симплектической редукции Марсдена–Вайнстейна к пространству $T^*M$ с действием группы $\mathbb{S}^1$. Речь идет о построении задачи в пространстве большей размерности, такой, что проектирование решений этой новой «расширенной задачи» на подходящее инвариантное подпространство дает решение исходной задачи. Удивительно простая реализация этой конструкции приводит к полному исследованию асимптотических решений рассматриваемых задач и простым формулам для этих решений.