Соотношение "коммутатор равен функции" в банаховых алгебрах

Мы обсудим аналитическую задачу, имеющую корни в теории квантовых групп. При деформировании коммутационных соотношений в универсальных обертывающих алгебрах иногда используются голоморфные функции, не являющиеся многочленами (например, гиперболический синус). В простейшем случае условие имеет вид $xy-yx=h(y)$, где $h$ — голоморфная функция в некоторой области. Если $h$ не является многочленом, естественно предполагать, что $x$ и $y$ — элементы банаховой алгебры или алгебры Аренса-Майкла (т.е. проективного предела банаховых алгебр). Будет показано, что универсальная алгебра, порожденная элементами, удовлетворяющими этому соотношению, является аналитическим расширением Оре. В конструкции участвуют локальные алгебры степенных рядов, принадлежащие некоторому семейству $A_s$, $s\in(0,\infty]$. Их появление следует из асимптотической оценки для $\|(y-\lambda)^n\|$ при $n\to \infty$, где $\lambda$ — нуль функции $h$, а $\|.\|$ — субмультипликативная преднорма (оценка зависит от кратности нуля). Как приложение, мы рассмотрим вопрос о вложении алгебр $A_s$ в голоморфно конечно порожденные алгебры. В заключение будут сформулированы открытые вопросы.