Квантование универсального пространства Тейхмюллера

Универсальное пространство Тейхмюллера $\mathcal T$ определяется как фактор пространства квазисимметричных гомеоморфизмов окружности $S^1$ (т.е. гомеоморфизмов $S^1$, продолжающихся до квазиконформных отображений круга $\Delta$) по модулю преобразований Мебиуса (т.е. дробно-линейных автоморфизмов $\Delta$). Оно обладает естественной комплексной структурой, индуцированной вложением $\mathcal T$ в виде открытого подмножества в комплексное банахово пространство голоморфных квадратичных дифференциалов в круге $\Delta$. Универсальное пространство Тейхмюллера содержит все классические пространства Тейхмюллера, ассоциированные с компактными римановыми поверхностями конечного рода в виде комплексных подмногообразий. С другой стороны, однородное пространство $\mathcal S:=\mathrm{Diff}_+(S^1)/\text{M\"ob}(S^1)$, являющееся фактором группы диффеоморфизмов окружности $\mathrm{Diff}_+(S^1)$ по модулю преобразований Мебиуса, можно рассматривать как «гладкую» часть $\mathcal T$.
Пространство $\mathcal S$ можно проквантовать, воспользовавшись его вложением в гильбертов диск Зигеля $\mathcal D_{\mathrm{HS}}$. При таком вложении группа диффеоморфизмов $\mathrm{Diff}_+(S^1)$ реализуется в виде подгруппы симплектической группы Гильберта–Шмидта, действующей на диске $\mathcal D_{\mathrm{HS}}$ посредством операторных дробно-линейных преобразований. Мы строим голоморфное фоковское расслоение над $\mathcal D_{\mathrm{HS}}$, наделенное проективным действием симплектической группы Гильберта–Шмидта, накрывающим ее действие на $\mathcal D_{\mathrm{HS}}$. Инфинитезимальная версия указанного действия дает проективное представление симплектической алгебры Гильберта–Шмидта в слое $F_0$ фоковского расслоения. Эту конструкцию можно рассматривать как геометрическое квантование диска Зигеля $\mathcal D_{\mathrm{HS}}$. Ее сужение на $\mathcal S$ дает проективное представление алгебры Ли $\mathrm{Vect}(S^1)$ группы $\mathrm{Diff}_+(S^1)$ в фоковском пространстве $F_0$, задающее квантование пространства $\mathcal S$. Однако описанная процедура квантования не применима ко всему универсальному пространству Тейхмюллера $\mathcal T$. Указанное пространство удается проквантовать, пользуясь «квантовым исчислением» Конна–Сулливана. Идея этого подхода состоит в том, чтобы построить представление $\pi$ ассоциативной алгебры наблюдаемых в гильбертовом пространстве $H$, сопоставляющее дифференциалу $df$ наблюдаемой $f$ коммутатор $[S,\pi(f)]$ квантовой наблюдаемой $\pi(f)$ с самосопряженным оператором симметрии $S$, определяемым поляризацией $H$.