Униформизация в задаче об асимптотике собственных функций оператора $\nabla D(x)\nabla$ с вырождающимся на границе коэффициентом $D(x)$.

Рассматривается задача об асимптотике собственных функций оператора $-\nabla D(x)\nabla$ в ограниченной области $X$ с границей $\partial X$ при больших собственных значениях $\lambda$. Предполагается, что $D(x)>0$ внутри $X$ и $D(x)=0$ на $\partial X$, причем $\nabla D(x){{|}_{\partial X}}\ne 0$. Стандартные краевые условия при этом не ставятся, их заменяет условие самосопряженности (используется расширение по Фридрихсу в $L^2(X)$). В теории волн на воде (где $X$ — двумерная область) такие собственные функции, описывают, в частности, так называемые волны, захваченные берегами, а функция $D$ определяет дно бассейна. Решение этой задачи в квазиклассическом приближении связано с лагранжевыми многообразиями, инвариантными относительно геодезического потока, задаваемого гамильтонианом $H(x,p)=D(x)p^2$. В силу вырождения $D(x)$ эти лагранжевы многообразия ("бильярды с полужесткими стенками") оказываются сингулярными и некомпактными по импульсам, причем импульсы на траекториях уходят на бесконечность за конечное время (нарушается условие полноты потока). Для построения соответствующих собственных функций авторами доклада совместно с А.Ю.Аникиным и А.В.Цветковой был ранее развит метод, основанный на нестандартном фазовом пространстве, модифицированном каноническом операторе, квантовании Фока канонических преобразований, преобразовании Ганкеля и т.д. В докладе предлагается совсем иной подход к построению асимптотик в таких задачах, перекликающийся с восходящей к Ж. Лере идее униформизации. Речь идет о построении задачи в пространстве большей размерности, такой, что проектирование решений этой новой «расширенной задачи» на подходящее инвариантное подпространство дает решение исходной задачи. Именно, $X$ представляется как пространство орбит полусвободного действия группы $\mathbb{S}^1$ на замкнутом многообразии $M$, гомеоморфном $\partial (B^2\times X)$ (где $B^2\subset\mathbb{R}^2$ — замкнутый единичный диск), и вырождающиеся на $\partial X$ уравнения на $X$ поднимаются с помощью естественной проекции $\pi\colon M\to X$ на многообразие $M$. Асимптотические решения "поднятых" уравнений оказывается возможным построить стандартными методами, а решения исходных уравнений суть решения "поднятых" уравнений, постоянные вдоль $\mathbb{S}^1$-орбит — слоев проекции $\pi$ (или в более общем случае получаются из $\mathbb{S}^1$-эквивариантных решений). Ранее построенное фазовое пространство $\Phi$ при таком подходе есть не что иное, как результат применения простейшего варианта симплекимческой редукции Марсдена–Вайнстейна к пространству $T^*M$ с действием группы $\mathbb{S}^1$. Удивительно простая реализация этой конструкции приводит к полному исследованию асимптотических решений рассматриваемых задач и простым формулам для этих решений.
Доклад основан на совместной работе с С.Ю.Доброхотовым.