О разрешимости кратного консервативного интегрального уравнения Винера-Хопфа в октанте и об уравнении Пайерлса

Работа посвящена вопросам нетривиальной разрешимости кратного однородного уравнения Винера-Хопфа:
\begin{equation}\label{eq:1} S\left( x,y,z \right)=\iiint\limits_{\mathbb R_{+}^{3}}{K\left( x-t,y-\tau ,z-\sigma \right)\cdot S\left( t,\tau ,\sigma \right)dt\, d\tau\, d\sigma },\quad \left( x,y,z \right)\in \mathbb R_{+}^{3}, \end{equation}
в октанте $\mathbb R_{+}^{3}\equiv {{\mathbb R}_{+}}\times {{\mathbb R}_{+}}\times {{\mathbb R}_{+}}$, ${{\mathbb R}_{+}}\equiv \left[ 0,\infty \right)$, где ядро $K$ определено в ${{\mathbb R}^{3}}$, удовлетворяет условиям консервативности
\begin{equation}\label{eq:2} 0\le K\in {{L}_{1}}\left( {{\mathbb R}^{3}} \right),\quad \iiint\limits_{{{\mathbb R}^{3}}}{K\left( t,\tau ,\sigma \right)dt\, d\tau \, d\sigma =1}, \end{equation}
и симметрично относительно каждого из аргументов:
\begin{equation}\label{eq:3} K\left( -x,y,z \right)=K\left( x,-y,z \right)=K\left( x,y,-z \right)=K\left( x,y,z \right), \quad \forall \left( x,y,z \right)\in {{\mathbb R}^{3}}. \end{equation}
Описан процесс построения положительного решения уравнения \eqref{eq:1} при выполнении условий \eqref{eq:2}, \eqref{eq:3} и существовании некоторых из моментов $K$:
$${{m}_{\alpha }}\equiv \iiint\limits_{\mathbb R_{+}^{3}}{{{x}^{{{\alpha }_{1}}}}{{y}^{{{\alpha }_{2}}}}{{z}^{{{\alpha }_{3}}}}\cdot K}\left( x,y,z \right)dx\, dy\, dz<\infty,$$
где $\alpha =\left( {{\alpha }_{1}}, {{\alpha }_{2}},{{\alpha }_{3}} \right)$ – мультииндекс, причем $\left| \alpha \right|={{\alpha }_{1}}+{{\alpha }_{2}}+{{\alpha }_{3}}\le 4$. Применение полученных общих результатов к однородному уравнению Пайерлса:
$$ \phi(x,y,z)=\frac{\alpha}{4\pi}\iiint\limits_{\mathbb R_{+}^3}{\frac{{{e}^{-\alpha \sqrt{{{(x-t)}^{2}}+{{(y-\tau)}^{2}}+{{(z-\sigma)}^{2}}}}}}{{{(x-t)}^{2}}+{{(y-\tau)}^{2}}+{{(z-\sigma)}^{2}}}\,\varphi(t,\tau,\sigma)\,dt\,d\tau\,d\sigma}, \qquad (x,y,z)\in\mathbb R_{+}^{3}, $$
где $\alpha>0$, позволяет изучить поведение нетривиального его решения. Полученные результаты представляют определенный интерес в теории переноса излучения.