О представлении квазипериодических функций с помощью двойных рядов

В тесной связи с теоремой Бальяна-Лоу [1], [2] находится явление, обнаруженное Переломовым [3]: некоторая сумма сдвигов гауссиана по решетке Габора-фон Неймана есть тождественный нуль во всей комплексной плоскости. Независимое доказательство этого факта следует также из рассмотрения антикоммутативной подгруппы группы Вейля-Гейзенберга в [4]. Не менее важно, что тождество Переломова выполнено и для целой функции $a(z)$, с помощью которой строится базис в пространстве Гильберта приводящий к экспоненциально локализованным асимптотическим аппроксимациям целых функций [5]. Картина проецируется также и на гильбертово пространство функций на вещественной прямой [6], допуская прямое обобщение на произвольную размерность. В настоящем сообщении изучены представления в виде двойных рядов, возникающие в описанной выше картине для квазипериодических функций.
Рассматривая, для удобства, антипериодическую функцию $f(x)$ антипериода $2a$, ее можно представить с помощью пары функций, $f_-(x)=e^{i\phi(x)}(f(x)+if(a+x))/2$ и $f_+(x)=e^{-i\phi(x)}(f(x)-if(a+x))/2$, периода $a$. В прочих случаях квазипериодичности рассмотрение проводится с соответствующим множителем Флоке. Для $\phi(x)$ получается выражение с лемнискатными эллиптическими функциями Якоби,
\begin{equation} \phi(x)=Arg \left(\frac{{{\sqrt{2}} cn\left(u\right)+ {i}} {sd}\left(u\right)}{\sqrt{2-sd\left(u\right)^2cn\left(u\right)^2}}\right), \nonumber \end{equation}
приводящее к указанному представлению с помощью двойных рядов. Полученное представление являет собой альтернативу представлению в виде рядов Фурье и может применяться, в частности, в задачах теории сигналов и квантовой механики.

Список литературы

1. Balian R., C. R. Acad. Sci., Paris, 292 (1981), 1357–1362
2. Low F., A Passion for Physics, ed. C. De Tar, WS, Singapore, 1985, 17–22
3. Perelomov A. M., Teor. Mat. Fiz, 6 (1971), 213–224
4. Avanesyan G., J. Phys.: Condens. Matter, 16 (2004), 2357–2369
5. Avanesyan G. T., J. Phys. A: Math. Theor., 41 (2008), 285203
6. Muzhikyan A. H., Avanesyan G. T., J. Phys. A: Math. Theor, 45 (2012), 244035