Аннотация:
Пусть $L^\infty\left(\mathbb Z_p\right)$ – пространство почти всюду ограниченных комплекснозначных функций на кольце $\mathbb Z_p$ целых $p$-адических чисел, $\mathcal B$ – алгебра ограниченных операторов на гильбертовом пространстве $L^2\left(\mathop{\mathbb Z_p}\right)$. По аналогии с квантовым дифференциалом Конна ([1]) определим (некоммутативный) $p$-адический дифференциал $\mathop{\mathrm{d}}$ на алгебре $L^\infty\left(\mathbb Z_p\right)$ по формуле $$ \mathop{\mathrm{d}} f = \left[M_f, H\right], \, f\in L^\infty\left(\mathbb Z_p\right), \,\mathop{\mathrm{d}} f\in \mathcal B, $$ где $M_f$ – оператор умножения на функцию $f$, $M_f\in\mathcal B$, $H$ – $p$-адический оператор Гильберта, $H\in\mathcal B$ ([2]). Оказывается, что $p$-адический дифференциал обладает следующими свойствами.
$\mathop{\mathrm{d}} f$ является оператором конечного ранга тогда и только тогда, когда $f$ — локально постоянная функция, $f\in LC\left(\mathop{\mathbb Z_p}\right)$;
$\mathop{\mathrm{d}} f$ является ограниченным оператором тогда и только тогда, когда $f$ — функция с ограниченными средними осцилляциями, $f\in BMO\left(\mathop{\mathbb Z_p}\right)$;
$\mathop{\mathrm{d}} f$ является компактным оператором тогда и только тогда, когда $f$ — функция с малыми средними осцилляциями, $f\in VMO\left(\mathop{\mathbb Z_p}\right)$;
$\mathop{\mathrm{d}} f$ принадлежит идеалу Шэттена $\mathfrak S_q$ тогда и только тогда, когда $f$ принадлежит $p$-адическому пространству Бесова $B_q^{1/q}$.
Список литературы
A. Connes, Noncommutative geometry, Academic Press, 1994
K. Phillips, “Hilbert transforms for the p-adic and p-series fields”, Pacific Journal of Mathematics, 23:2 (1967), 329–347
Обратная связь: