Аннотация:
Речь будет идти о спектральных свойствах операторов вида $A=T+B$, где $B$ — несимметрический оператор, подчиненный самосопряженному или нормальному оператору $T$. Оператор $B$ называем $p$-подчиненным оператору $T$ ($0\leqslant p <1$), если его область определения $B$ содержит область определения оператора $T$ и выполняется оценка $$ \|Bx\| \leqslant b\|Tx\|^p\, \|x\|^{1-p} + M\|x\| \quad \forall\ x\in\mathcal D(T) \subset \mathcal D(B), \ \ b, M= \text{const}. $$ Имеется трудно обозримое количество работ (в частности, Дж.Биркгоф, Т.Карлеман, М.В.Келдыш, Ф.Браудер, C.Агмон, И.Б.Лидский, И.Ц.Гохберг, М.Г.Крейн, А.С.Маркус, В.И.Мацаев, В.А.Садовничий, Б.С.Митягин), в которых исследованы задачи о сохранении свойств полноты или базисности собственных векторов, о сохранении асимптотик функций распределения собственных значений при $p$-подчиненных возмущениях самосопряженных операторов с дискретным спектром.
Наша цель — продолжить эти классические исследования в двух направлениях. Во-первых, получить аналоги известных результатов о сохранении базисных свойств для $p$-подчиненных возмущений самосопяженных операторов с непрерывным спектром. Во-вторых, ввести новое понятие локальной $p$-подчиненности, а также локальной подчиненности в смысле квалратичных форм (соответствующие условия слабее, нежели условия обычной $p$-подчиненности) и получить аналоги известных результатов при новых более слабых условиях.
Мы продемонстрируем, что новые теоремы эффективно могут быть использованы для приложений в теории дифференциальных операторов.
Работа по этой теме поддерживается грантом РНФ №17-11-01215.
Обратная связь: