Гипотеза Пиерса–Биркгоффа и вещественный спектр кольца

Функция $f\colon \mathbb R^n\to\mathbb R$ называется кусочно полиномиальной, если она непрерывна и существует конечный набор многочленов $f_i$ от $n$ переменных, такой, что для каждого $x$ в $\mathbb R^n$ выполняется равенство $f(x)=f_i(x)$ для некоторого $i$. Гипотеза Пиерса–Биркгоффа состоит в том, что всякая кусочно-полиномиальная функция $f$ может быть получена из конечного набора многочленов при помощи операций «максимум» и «минимум». Гипотеза уже доказана в размерностях $1$ и $2$. Было рассказано о программе её доказательства и о некоторых частных результатах в размерности $3$ и выше. Предлагаемый метод решения задачи использует понятие вещественного спектра кольца многочленов. Большая часть доклада была посвящена ему. При помощи вещественного спектра, было объяснено, что на самом деле гипотеза Пиерса–Биркгоффа — это задача о контакте между двумя кривыми в эвклидовом пространстве.