Пространства $s$-мерно непрерывных функций; теоремы вложения

Настоящий доклад посвящен исследованию пространств $s$-мерно непрерывных функций $C_{s, p}(\stackrel{-}{Q})$. Эти пространства были введены в работе [1] для описания свойств решений из $W_{2,\mathop{\rm loc}\nolimits }^1(Q)$ задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка. Использование пространства $C_{n-1, p}(\stackrel{-}{Q})$ позволило дать естественное определение решение задачи Дирихле, не использующее гладкость границы области; $Q$ — ограниченная область $n$-мерного пространства. Этот аппарат оказался весьма удобным при исследовании широкого круга нестандартных задач.
Основными результатами являются следующие утверждения; для простоты будем считать границу области гладкой: $\partial Q \in C^1$.
Теорема 1.
$$C_{s,p}(\stackrel{-}{Q}) \subset L_q(Q) \; \text{при} \; q \leq p \frac{n}{s} $$
и справедлива соответствующая оценка норм.
Теорема 2.
$$W_r^1(Q) \subset C_{n-1,p}(\stackrel{-}{Q}) \; \text{при} \; p \geq r \frac{n-1}{n-r}$$
и справедлива соответствующая оценка норм.
Показатели суммируемости в приведенных теоремах являются точными.

Список литературы

1. Гущин А.К., “О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка”, Матем. сб., 137:1 (1988), 19–64