Алгебры Хопфа и $n$-моноидальные категории

Задача теории деформаций в некотором смысле состоит из двух частей: сначала описать «деформационный комплекс» описывающий инфинитезимальные деформации, а затем построить на нем структуру DG алгебры Ли, описывающий посредством уравнения Мауэра–Картана формальные деформации. Например, в случае деформации ассоциативных алгебр деформационный комплекс это комплекс Хохшильда, и структура алгебры Ли на нем задается скобкой Герстенхабера. При этом оказывается что сами когомологии Хохшильда это 2-алгебра, и структура имеющаяся на самом комплексе это 2-алгебра с точностью до гомотопии, и структура деформационной алгебры Ли лишь часть этой более полной структуры. В случае алгебр Хопфа только решение первой задачи известно, оно дается комплексом Герстенхабера–Шэка. Структура же деформационной алгебры Ли на нем в явном виде до сих пор не известна. В докладе будет рассказано как доказать что на когомологиях Герстенхабера–Шэка любой алгебры Хопфа есть естественная структура 3-алгебры. Эта структура будет построена не как индуцированная на когомологии со структуры на комплексе (поскольку последняя не известна), а категорными методами. В случае когомологий Хохшильда аналогичная конструкция была предложена Штефаном Шведе и использует моноидальную структуру на категории бимодулей над алгеброй. Аналог бимодулей в контексте биалгебр это тетрамодули, и на них есть две моноидальные структуры, согласованные нетривиальным образом. То что имеется называется 2-моноидальная категория. Будет рассказано как доказать что (почти) верно следующее: $Ext(e,e)$ в абелевой $n$-моноидальной категории где $e$ единичный объект в этой категории есть $(n+1)$-алгебра. Наше утверждение про алгебры Хопфа получается при $n=2$. Также наши методы позволяют описать операду которая действует на таких Ext'ах когда все происходит над полем положительной характеристики или над кольцом целых чисел.