Случайные метрики на сфере

Из миллиона независимых подбрасываний честной монеты, скорее всего, будет около полумиллиона орлов; это — утверждение закона больших чисел. Явление следующего порядка — центральная предельная теорема, утверждающая, что отклонение от среднего значения будет порядка корня из числа подбрасываний — порядка тысяч. Более того, поделив отклонение на корень из числа подбрасываний, мы получаем случайное отклонение; его распределение с ростом числа подбрасываний становится всё более похожим на некоторое конкретное распределение.
В задаче, которой будет посвящена лекция, мы увидим аналогичный эффект в гораздо более сложной ситуации. Возьмём большое число — N — единичных квадратиков. Из этих квадратиков можно склеить (топологическую) сферу — например, можно склеить длинный цилиндр и заклеить его концы, или склеить «подушку» из двух больших квадратов со стороной $~\sqrt{N/2}$.
Способов сделать это очень и очень много; выберем из них один случайным образом. Как будет выглядеть такая сфера в типичном случае?
Например — эта сфера снабжена «римановой» метрикой, устроенной следующим образом: расстояние между точками есть длина кратчайшего пути между ними, а длина пути определяется как сумма (естественно определённых) задаваемых им длин внутри пересекаемых им квадратиков. Как ведёт себя с ростом N диаметр такой сферы? На что она становится похожей при стремлении N к бесконечности?
Оказывается, — это доказали в 2002 году Шассэн и Шеффер — диаметр сферы с такой случайной метрикой ведёт себя как корень четвёртой степени (а вовсе не квадратный!) из числа квадратиков N. Частичный же ответ на второй вопрос даёт теорема, полученная в 2011-м году одновременно и независимо Жаном-Франсуа Ле Галлем и Грегори Мьермонтом: она утверждает, что если метрику сжать в N^(1/4) раз, то полученная случайная метрика по своему распределению будет всё больше и больше похожа на некоторую случайную метрику. При этом сфера относительно этой случайной метрики с вероятностью 1 имеет (хаусдорфову) размерность 4 — а вовсе не 2!
Я не буду касаться совсем свежих работ на эту тему — упомянув лишь, что за работы в этой области Ясон Миллер и Скотт Шеффилд получили в 2017-м году премию Clay Mathematical Award.
Хотя сюжет и довольно сложный, интуитивного понимания понятия вероятности и некоторого знакомства с комбинаторикой для понимания большей части лекции должно быть достаточно.