О цепях Маркова со счетным множеством состояний

Пусть $G_{sub}$ класс субстохастических матриц $P=(p_{ij})_{i,j=1}^\infty$, где $p_{ik}\ge0$, $\lambda_i=\sum_{j=1}^\infty P_{ij}\le1$, $i,k=1,2,\dots$ . Обозначим через $G_{st}\subset G_{sub}$ класс стохастических матриц. Пусть $Q_r$, где $r\ge1$, следующий проектор, действующий в $G$: $(Q_rA)_{ij}=(A)_{ij}$, $i,j\ge r$, $(Q_rA)_{ij}=(A)_{ij}=0$, если $i<r$ или $j<r$. Рассмотрим цепь Маркова $\xi_p$ со счетным множеством состояний $E_1,E_2,\dots$ и матрицей переходных вероятностей (см. [1]). Решение
$$ \theta\prec\eta=(\eta_1,\eta_2,\dots)\in l_1 $$
уравнения
\begin{equation} \eta=\eta P \tag{1} \end{equation}
с нормировкой $\sum_{k=1}^\infty$ определяет инвариантное распределение вероятностей цепи $\xi_p$. Если цепь неприводимая и непериодичная, то $\eta>\theta$ и цепь эргодична.
Матрицу $I-P$, $P\in G_{sub}$, назовем асимптотически нормально обратимой, если при некотором $r\ge1$ $\exists\,(I-P_r)^{-1}=I+H_r$, где $H_r\in G$, $Q_rH_r=H_r$.
В [2] доказано, что при произвольном $P\in G_{sub}$ существует факторизация
\begin{equation} I-P=(I-C)(I-B), \tag{2} \end{equation}
где $B=(b_{ij})$ и $C=(c_{ij})$ треугольные матрицы: $b_{ij}=0$, $i\le j$; $c_{ij}=0$, $i>j$. Матрица $B$ – строго субстохастическая, имеют место неравенства $c_{ij}\le \sum_{k=j}^\infty p_{ik}$.
Из результатов [2] непосредственно следует следующая сравнительно простая эргодическая теорема.
Теорема 1. {\it Пусть матрица $P\in G_{st}$, $P>O$ (поэлементно), и матрица $I-P$ асимптотически нормально обратима. Тогда цепь $\xi_p$ эргодична.}
С использованием некоторых новых свойств факторизации (2) доказывается:
Теорема 2. {\it Пусть $P\in G_{st}$ и существуют $\varepsilon>0$, $r>1$ такие, что $\sum_{j=i}^\infty p_{ij}j^2<+\infty$ и $\sum_{j=1}^\infty p_{ij}(j-i)\le-\varepsilon$ при $i\ge r$. Тогда цепь $\xi_p$ обладает инвариантным распределением вероятностей. Если цепь неприводимая и непериодическая, то она эргодична.}
Условия теорем 1, 2 имеют простой вероятностный смысл. Приведем один пример. Пусть $P\in G_{st}$ – матрица с элементами
\begin{equation} p_{ij}=a_{i-j}+a_{i+j}, \qquad i,j=1, \tag{3} \end{equation}
где $a_i>0$, $-\infty<i<+\infty$; $\sum_{i=-\infty}^\infty a_i=1$.
Цепь Маркова с матрицей (3) описывается случайное блуждание на решетке $E_1,E_2,\dots$ с границей $E_0$, отражающей по специальному закону. Пусть выполнены условия $\sum_{k=-\infty}^\infty k^2a_k<+\infty$, $\sum_{k=-\infty}^\infty ka_k<0$. Тогда матрица (3) удовлетворяет условиям теоремы 2 и цепь $\xi_p$ эргодична. Заметим, что в рассматриваемом примере $I-P$ не является асимптотически нормально обратимым.
В теории марковских цепей, марковских и полумарковских процессов представляет интерес неоднородное уравнение
\begin{equation} x=h+xP; \qquad 0\leqslant h\in l_1. \tag{4} \end{equation}
Доказывается, что при произвольном $P\in G_{sub}$ хотя бы одно из уравнений (2) и (4) обладает положительным решением. Найдено одно достаточное условие разрешимости (4) при $P\in G_{st}$, $P>0$. Этот факт не имеет конечномерного аналога.
Отмеченные выше результаты привели к новым теоремам по существованию и асимптотическим свойствам решения уравнения марковского восстановления со вложенной цепью $\xi_p$.
Список литературы.
[1] В. Феллер, Введение в теорию вероятностей и ее приложения, том 1, М.: Мир, 1984, 528 с.
[2] N. B. Yengibarian, Factorization of Markov Chains // J. of Theor. Probability, 17:2 (2004), 459–481.