Действие тора и потоки Тоды на пространствах изоспектральных матриц

Рассмотрим пространство $M_\lambda$ всех эрмитовых матриц размера $n \times n$, имеющих заданный простой спектр $\lambda$. Это пространство представляет собой гладкое многообразие полных комплексных флагов в $\mathbb{C}^n$ и имеет вещественную размерность $n(n-1)$. На этом многообразии имеется эффективное действие компактного $(n-1)$-мерного тора и отображение моментов, образ которого - пермутоэдр.
Широко известно многообразие Томеи изоспектральных трехдиагональных симметричных вещественных матриц. На этом многообразии имеется замечательная динамическая система: поток открытой цепочки Тоды. Многообразие Томеи сыграло важную роль в работах А.Гайфуллина по проблеме реализации циклов.
В работе Блоха, Флашки и Ратью было изучено аналогичное пространство трехдиагональных эрмитовых матриц. На нем также имеется поток цепочки Тоды, но, более того, оно является $T^{n-1}$-инвариантным подмногообразием в $M_\lambda$. Комбинация методов теории динамических систем и торической топологии позволили описать топологию этого многообразия.
Наша цель - исследование подмногообразий в $M_\lambda$, инвариантных относительно действия тора $T^{n-1}$, и обладающих $T^{n-1}$-симметричными аналогами цепочек Тоды.
Накладывая условия равенства нулю матричных элементов, стоящих на определенных местах, мы получаем $T^{n-1}$-инвариантные подпространства в $M_\lambda$. Наша первая задача была найти среди этих подпространств гладкие подмногообразия либо для всех возможных значений простого спектра, либо при некоторых ограничениях на простой спектр. Вторая задача - развить методы, основанные на теории динамических систем и торической топологии, достаточные для описания топологии этих многообразий и их пространств орбит.
Мы рассматриваем два класса таких многообразий. Первый класс - пространства изоспектральных ступенчатых эрмитовых матриц $X_{h,\lambda}$, определяемые функциями Хессенберга $h$. В этом случае на пространстве имеется поток открытой цепочки Тоды, и любая его траектория стремится к предельной точке. Это позволило доказать, что $X_{h,\lambda}$ является гладким подмногообразием для любого простого спектра $\lambda$. Используя теорию Морса, мы показываем, что у этого многообразия когомологии в нечетных размерностях тривиальны. В результате получено описание колец обычных и эквивариантных когомологий при помощи теории Горески-Коттвица-Макферсона (ГКМ-теории).
Как известно, в пространстве флагов имеются $T^{n-1}$-инвариантные регулярные полупростые подмногообразия Хессенберга. Мы описываем связь многообразий $X_{h,\lambda}$ с регулярными полупростыми многообразиями Хессенберга, и доказываем, что эти пространства имеют изоморфные кольца эквивариантных когомологий и гомеоморфные пространства орбит. На этом пути возникают примеры $T^{n-1}$-многообразий, пространства орбит которых имеют нетривиальные когомологии.
Второй класс $T^{n-1}$-инвариантных подпространств в $M_\lambda$ - это подпространства $X_{n,\lambda}$ периодических трехдиагональных матриц, то есть матриц, у которых ненулевые элементы допускаются только на трех главных диагоналях и в углах. На пространстве $X_{n,\lambda}$ помимо действия тора имеется поток замкнутой (периодической) цепочки Тоды. В этом случае траектории потока образуют всюду плотные обмотки торов. Используя как действие тора, так и слоение на торы Лиувилля-Арнольда, мы описываем условия на простой спектр $\lambda$, при которых $X_{n,\lambda}$ является гладким многообразием, а также описываем топологию этого $T^{n-1}$-пространства и его пространства орбит.
Доклад основан на совместной работе с В.М.Бухштабером.