Идеалы алгебры $H^{\infty}$: вещественная интерполяция и уравнение Безу

Мы обсудим две задачи, связанные с изучением свойств идеалов алгебры $H^{\infty}$. Первая часть доклада основана на совместных работах с С.В. Кисляковым и посвящена вопросам вещественной интерполяции пространств, образованных в результате пересечения идеалов, а в более общей ситуации — модулей над замкнутыми в $w^{\ast}$-топологии подалгебрами алгебры $L^{\infty}(\mu)$. В качестве примера пространств, для которых получаются интерполяционные результаты (частично новые, частично известные), можно привести пространства $K^p_{\theta}$ и $H^p(\mathbb{T}^2)$.
Во второй части доклада мы обсудим метрические аспекты задачи об идеалах. Пусть $X$ — банахова решётка последовательностей, а $X'$ — решётка, порядково сопряжённая с $X$. Для всякой функции $h$ из класса $H^\infty(\mathbb{D})$ и векторнозначной функции $f$ из класса $H^\infty(\mathbb{D}; X)$, удовлетворяющим некоторым дополнительным условиям, требуется найти такую векторнозначную функцию $g$ из класса $H^\infty(\mathbb{D}; X')$, что выполняется равенство
$$ h(z) = \sum\limits_{i=1}^\infty f(z,i) g(z,i), \,\,\, z \in \mathbb{D}, $$
при этом нужно контролировать величину $\|g\|_{H^\infty(\mathbb{D};X')}$. В.А. Толоконников решил задачу об идеалах в случае $X=l^2$. С помощью метода Д.В. Руцкого, основанного на теореме о неподвижной точке, удалось установить разрешимость задачи об идеалах для решёткок, удовлетворяющих дополнительному условию $q$-вогнутости. В частности, будет показано, что при $X = l^p, 1 \le p < \infty$ задача об идеалах разрешима.