Интегрируемые гиперболические системы лиувиллевского типа

Обсуждаются различные свойства уравнения Лиувилля. Одно из них выбирается в качестве определения интегрируемости для некоторого класса нелинейных гиперболических уравнений, которые мы называем уравнениями лиувиллевского типа. Оператор линеаризации для таких уравнений обладает конечным набором инвариантов Лапласа. Приводятся примеры таких уравнений и доказывается эквивалентность этого определения определению интегрируемости уравнения по Дарбу.
Для систем гиперболических уравнений возникает проблема вырожденности инвариантов Лапласа. Мы оказываем, как избежать этой трудности. В качестве примеров рассматриваются открытые цепочки Тоды, связанные с простыми алгебрами Ли. Оказывается, что индексы, при которых происходит падение ранга инвариантов Лапласа, совпадают с показателями соответствующей алгебры Ли.
При изучении симметрий уравнений, интегрируемых по Лиувиллю, возникают новые скобки Ли, определенные на множестве дифференциальных полиномов. Оказывается, что они также связаны с дифференциальными подстановками типа преобразования Миуры.