Кватернионы, повороты пространства и правильные многогранники

Кватернионы — очень естественный математический объект, возникающий как «высший» аналог комплексных чисел. Они получаются, если к вещественным числам присоединить не одну, а сразу три мнимых единицы. При этом, чтобы сохранить другие важные свойства, приходится «пожертвовать» коммутативностью умножения.
Так же как вещественные числа изображаются точками на прямой, а комплексные — на плоскости, кватернионы естественным образом изображаются точками в четырёхмерном пространстве. Тем не менее, оказывается, что наиболее глубоко кватернионы связаны не с четырёхмерной, а с обычной трёхмерной геометрией, точнее, с поворотами трёхмерного пространства. Этой замечательной связи в первую очередь и будет посвящена лекция.
Потом мы всё-таки перейдём в четырёхмерный мир и обсудим, как связь кватернионов и поворотов трёхмерного пространства позволяет, стартуя с групп симметрий трёхмерных правильных многогранников, строить четырёхмерные правильные многогранники: правильный 24-гранник, гранями которого являются правильные октаэдры, правильный 120-гранник, гранями которого являются правильные додекаэдры, и правильный 600-гранник, гранями которого являются правильные тетраэдры.