Дифферециальные уравнения и динамические системы в исследованиях математической модели перехода Джозефсона

В 1973 году B. Josephson получил Нобелевскую премию по физике с формулировкой "за теоретическое предсказание эффекта Джозефсона". Одна из известных моделей динамики сильно шунтированного перехода Джозефсона (RSJ-модель ) использует 3-параметрическое семейство нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.
В.М.Бухштабер, О.В.Карпов и С.И. Тертычный во ВНИИ Физико-Технических и Радиотехнических измерений стали изучать это семейство уравнений с целью исследования соответствия модели экспериментальным данным (см. публикации в ЖЭТФ в 2001 г. и позже). Было показано, что это семейство эквивалентно некоторому семейству динамических систем на двумерном торе. В ходе обсуждения наших результатов А.И. Нейштадт посоветовал обратить внимание на статью Ю.С.Ильяшенко и J. Guckenheimer (MMJ, 2001), в которой аналогичное семейство систем на торе изучалось как пример, важный для теории быстро-медленных динамических систем. Позже выяснилось, что такого вида семейства на торе ранее рассматривались в различных задачах математики, механики и физики, причем в областях исследований, далёких друг от друга.
Классическое число вращения динамической системы на торе, введённое Пуанкаре, задаёт функцию на пространстве параметров этой системы. В модели перехода Джозефсона значение этой функции можно рассматривать как среднее напряжение в точке перехода, если он реализуется в течение достаточно длительного времени. Множество уровня значения r числа вращения, имеющее непустую внутренность, называется r-ой областью захвата фазы. Такие области при малом значении параметра изучались В.И. Арнольдом и получили название "языки Арнольда". Оказалось, что наше семейство является нетипичным: зоны захвата возникают только при целых значениях числа r (см. В.М.Бухштабер, О.В.Карпов и С.И. Тертычный , "Эффект квантования числа вращения", ТМФ, 2010). Число вращения задаёт функцию на пространстве параметров, которая является трансверсально регулярной во всех нецелых значениях числа r (см. В.М.Бухштабер, А.А.Глуцюк, "Собственные функции монодромии уравнений Гойна и границы зон фазового захвата в модели сильношунтированного эффекта Джозефсона", Труды МИАН, 2017). В наших работах показано, что при переходе к комплексному времени обсуждаемое семейство нелинейных дифференциальных уравнений можно рассматривать как проективизацию 3-параметрического подсемейства классического 4-параметрического семейства дважды конфлюентных уравнений Гойна (Heun). Таким образом, мы получили 3-параметрическое семейство линейных дифференциальных уравнений второго порядка на Римановой сфере, которые имеют всего две особые точки в 0 и бесконечности, причем эти особенности иррегулярные.
Доклад посвящен результатам по исследованию семейств дифференциальных уравнений и динамических систем, о которых шла речь выше.