Квазиконформные отображения и гармоническая мера

Гармоническая мера (на границе области) — один из фундаментальных объектов в анализе, она может быть определена многими способами: как равновесная мера в электростатике, как вероятность выхода броуновского движения, как мера, дающая решения задачи Дирихле для гармонических функций. Для односвязных плоских областей гармоническая мера является образом длины при униформизирующем конформном отображении, поэтому многие вопросы комплексного анализа могут быть сведены к ее мультифрактальным свойствам, т.е. изучению множеств точек, где мера имеет заданное степенное поведение.
В докладе будет рассказано о возможных подходах к этим вопросам с использованием квазиконформных отображений. Последние имеют ограничения на возможное искажение углов, и поэтому являются менее «жесткими», чем конформные отображения. Зато в плоском случае они всегда вкладываются в однопараметрическое голоморфное движение (квазиконформных отображений), что позволяет использовать инструменты комплексного анализа.
В результате удалось переформулировать основные гипотезы про поведение гармонической меры в терминах нескольких смежных областей, в частности двумерного комлексного анализа и трехмерной гиперболической геометрии. Обе переформулировки выглядят просто, и представляют интерес для самих этих областей.
Часть результатов получены докладчиком вместе с Кари Асталой и Иштваном Праузе.