Некоторые задачи теории бифуркаций интегрируемых систем

В докладе предполагается обсудить некоторые задачи теории бифуркаций интегрируемых гамильтоновых систем с небольшим числом степеней свободы (2 и 3). Эти задачи возникают как при изучении семейств интегрируемых систем, зависящих от некоторого числа параметров, так и для индивидуальных интегрируемых систем при попытке изучить структуру соответствующего слоения Лиувилля в окрестностях семейств особых орбит. Впервые это было замечено в наших работах с Уманским (1981 г.). Редукция позволяет частично свести изучение в окрестности семейства особых орбит к изучению семейства интегрируемых систем меньшей размерности, но зависящих от параметров. Отметим, что при изучении бифуркаций нельзя использовать условия простоты особых орбит, поскольку они нарушаются, вместо этого применяется метод нормальных форм при локальном изучении особенностей. Здесь используются недавние результаты Зунга. Тема эта очень большая, поэтому в докладе будут рассмотрены некоторые бифуркации. В частности, будут обсуждаться бифуркации полуглобальной структуры слоения Лиувилля в расширенной (насыщенной) окрестности особой точки системы с двумя степенями свободы при переходе через случай пары вещественных кратных корней (неполупростой случай) для системы с двумя степенями свободы и бифуркации полуглобальной структуры при переходе через случай пары вещественных и двукратного нулевого корня (неполупростой случай).